Circunferencia

Circunferencia

Entre las líneas que conoces, además de la recta, está la circunferencia. En este tema veremos no sólo la geometría de la circunferencia, sino su tratamiento analítico; es decir, manejar la circunferencia en un sistema de coordenadas, definirla como un lugar geométrico, determinar su ecuación y graficarla, entre otras cosas.

No debe confundirse circunferencia con círculo (esto es, la superficie que encierra la circunferencia), aunque ambos conceptos están muy ligados.

Definición

La circunferencia pertenece a la clase de curvas conocidas como cónicas, Y puede definirse como la intersección de un cono circular recto con un plano perpendicular al eje del cono. Esta definición no resulta práctica para muchas aplicaciones, de manera que utilizaremos una definición equivalente dada en términos de distancias, la cual permita obtener propiedades Y aplicaciones.

Circunferencia es el lugar geométrico de un punto que se mueve en el plano, de tal manera que se conserva siempre a una distancia constante de un punto fijo de ese plano. El punto fijo se llama centro de la circunferencia y la distancia constante es el radio.

Antes de determinar su ecuación recordaremos algunos elementos de la circunferencia que utilizaremos en los problemas.

En la figura el punto C denota el centro; la longitud del segmento CP, donde P es cualquier punto de la circunferencia, por lo que forma el radio y se denota con r; el segmento BB', el cual une dos puntos cualesquiera de la circunferencia, se llama cuerda; el segmento DD' es una cuerda que pasa por el centro y se denomina diámetro; la recta l, la cual toca la circunferencia en un solo punto es la tangente.

vídeo de ecuación ordinaria de la circunferencia con centro en el origen

Formas de la ecuación de la circunferencia

La ecuación de la circunferencia tiene varias formas, las cuales dependen del sistema de coordenadas; en nuestro caso sólo veremos la forma ordinaria y la forma general.

Ecuación de la circunferencia con centro en un punto dado y radio r

Sea P (x, y) un punto cualquiera de la circunferencia, C (h, k) el centro y r el radio; entonces, de la definición anterior tenemos: 

esta ecuación se llama forma ordinaria.

vídeo de ecuación ordinaria de la circunferencia con centro en (h,k)

NOTAS:

l. Esta ecuación exhibe las coordenadas de! centro y el radio; de ahí la facilidad del trazo de su gráfica.

2. Si el centro de la circunferencia es e! origen de las coordenadas -esto es, h = lz = 0-, de la ecuación (8), tenemos:

Esta ecuación se llama forma canónica de la ecuación de la circunferencia.

Observa que la extensión de la curva es e! intervalo [-r, rl para ambas variables.

Ejemplos:

l. Hallemos la ecuación de la circunferencia con centro en el punto (- 3,4) Y radio 4.

Solución:

Al sustituir las coordenadas del. Centro y el valor del radio en la ecuación (8), tenemos:

(x + 3)2 + (y - 4)2 = 4²

la cual puede escribirse como:

x²+ y² + 6x - 8y + 9 = O

2. Hallemos la ecuación de la circunferencia, de radio 3 y cuyo centro es el punto

de intersección de las rectas l¡: x - y + 2 = O, l₂: X + Y - 4 = O.

Solución:

Determinemos el punto de intersección de las rectas; esto es, resolvamos el sistema de ecuaciones:

x-y+2=0

x+y-4=0

Vídeo de la circunferencia en  su forma general

VÍDEO DE LA CIRCUNFERENCIA QUE PASA POR 3 PUNTOS

Fuentes:

Módulo de aprendizaje Matemáticas 3 colegio de Bachilleres del Edo de Sonora

Antología de Geometría Analítica de la Dgeta

Matemáticas 3, Eduardo Basurto Hidalgo Ed. Pearson

Matemáticas 3, Rene Jiménez Colegio  de Bachilleres