Geometría Analítica (Blog del M.E. Gerardo Bernabé Bedolla Brambila): Lugares geométricos y gráfica de ecuaciones

En el estudio de la geometría analítica se nos presentan dos problemas básicos que son inversos entre sí:

1. Dada una ecuación, determinar el lugar geométrico que representa, es decir, trazar la gráfica correspondiente.

2. Dado un lugar geométrico definido por determinadas condiciones, hallar su ecuación matemática.

Un lugar geométrico es el punto o conjunto de puntos que satisfacen una o varias condiciones. El conjunto de los puntos, y solamente de aquellos puntos cuyas coordenadas satisfagan una ecuación, se llama gráfica de la ecuación, o bien, su lugar geométrico.

Otra definición importante establece: si las coordenadas de un punto satisfacen una ecuación, dicho punto pertenece a la gráfica de la ecuación; o si un punto está sobre la gráfica de una ecuación, sus coordenadas satisfacen la ecuación.

Para trazar la gráfica de una ecuación dada, es necesario tener una idea de su forma y conocer alguna de sus propiedades características, como la intersección con los ejes coordenados; la simetría; el campo de variación de las variables o extensión de una curva; las asíntotas; el cálculo del dominio y rango de la función y el trazado de la curva.

En consecuencia frecuentemente se define a una curva como el lugar geométrico descrito por un punto que se mueve cumpliendo una determinada condición o condiciones que se expresan en forma narrativa o en forma de una ecuación.

Ejemplo:

Una circunferencia se define como el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto llamado centro.

Ejemplo:

La bisectriz de un ángulo se define como el lugar geométrico delos puntos de un ángulo que equidistan de sus lados.

Ejemplo:

Traza el lugar geométrico de los puntos de abscisa constante igual a 4.