Distancia entre dos puntos

Distancia entre dos puntos

La distancia entre dos puntos se puede presentar en tres formas, las que explicaremos a continuación.

1.    Sean P₁ (x₁,y₁) y P₂(x₂,y₂) dos puntos localizados de manera general en un plano y que pertenecen a una misma recta horizontal (paralela al eje x), la distancia dirigida entre los dos puntos es:

Fórmula de la distancia dirigida de P₁ a P₂ o de P₂ a P₁.

                                               P₁  P₂  =  x₂ - x₁

                                               P₂  P₁  =  x₁ – x₂

            La fórmula de la distancia no dirigida es:

                                               ½P₁  P₂ ½ = ½x₂- x₁ ½ = ½x₁ – x₂ ½

Sean P₁ (x₁ , y₁) y  P₂  (x₂ , y₂) dos puntos pertenecientes a una misma recta vertical (paralelas al eje y). La distancia dirigida entre los dos puntos es, conforme a las siguientes fórmulas:

                                               P₁  P₂  =  y₂ - y₁

                                               P₂a P₁ = y₁ – y₂

           

La fórmula de la distancia dirigida es:

½P₁  P₂ ½ = ½y₂- y₁ ½= ½y₁ – y₂ ½

  

Sean P₁ (x₁ , y₁)  y   P₂  = (x₂ , y₂) dos puntos que no se hallan sobre una misma recta horizontal o vertical; se traza una recta que pasa por P₁ , paralela al eje “x”, otra recta que pasa por el punto P₂ paralela al eje “y”; estas rectas se interceptarán en un punto Q(x₂ , y₁) formando así un triángulo P₂ QP₁ en el cual identificamos:

½P₁P₂ ½=  hipotenusa  = d (distancia)

 P₁Q       = cateto adyacente = (x₂ - x₁)

 QP₂        = cateto opuesto  =   (y₂- y₁)

La distancia no dirigida entre dos puntos se representa por:

  

La distancia entre dos puntos se puede presentar en tres formas:

Ejemplo 1: Encuentra la distancia entre los puntos cuya coordenadas son:

 P₁ (-7 , 2) y  P₂   (8 , 2)      

Si graficamos los puntos dados, tenemos:

Observa que los dos puntos dados pertenecen a una misma recta vertical, por lo que la distancia no dirigida entre los dos puntos es:

d  =  P₁P₂  =  Y₂  -  Y₁                                   d  =  P₂P₁  =  Y₁  -  Y₂

d  =  P₁ P₂  =  - 6  -  4                                    d  =  P₁ P₂  =  4  -  ( - 6 )

d  =  P₁ P₂  =    - 10                                       d  =  P₁ P₂  =  4  +   6

                                                                        d  =  P₁P₂  =  10

Ejemplo 3:

Calcula la distancia entre los puntos cuyas coordenadas son:

A ( - 6,  3 )   y   B ( 2,  - 3 )

Si graficamos los puntos dados, tenemos:

Vídeo Distancia entre dos puntos 

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

I. Encuentra la distancia entre los puntos cuyas coordenadas son:

1.  A ( 3,  5 )   y   B ( 4, -1 )                        2.  A ( -2,  -3 )   y   B (4, -2 )    

II. Demuestra mediante la fórmula de la distancia, que los siguientes puntos son colineales.

1.  A( -5, 6 ),  B( 2, 4 )  y  C( 16, 0 )                           2.  A(-2, -5),  B(2, -4)  y  C(10, -2)  

III. Demuestra que los siguientes puntos son los vértices de un triángulo isósceles.

1. A( -2, 2 ),  B( 3, 1 )  y  C( -1, -2 )                             2. A( -6, -6 ), B( -2, 5 ) y C(2, -2)

IV. Demuestra que los siguientes puntos son los vértices de un triángulo rectángulo.

1. A( 3, 2 ),  B( -2, -3 )  y  C( 0, -4 )                             2. K( 3, 5 ), L( 7, 2 ) y M( 4, -2 )

V. Demuestra que los siguientes puntos son los vértices de un paralelogramo.

1.    A( 4, 2 ),  B( 2, 6 ),  C( 6, 8 )  y  D ( 8, 4 )

Encuentra la distancia entre cada par de puntos.

1.            A (2; 1) y B (7; 2)
2.            C (-4; 4) y D (4; 4)
3.           E (-8; -5) y F (-3; -5)
4.             G (0; -2) y H (7; -2)
5.             I (3; -4) y J (3; 3)
6.          K (-6; -1) y L (-6; 3)
7.         M (2; -2) y N (6; 1)
8.        P (-5;-2) y Q (-1; -4)
9.       R (-5; -3) y S (3; 3)
10.           T (4;-4) y U (1; 5)

Los puntos P, Q y R son los vértices de un triángulo. Determina en cada caso si es equilátero, isósceles o escaleno.

1.      P (-1; 5), Q (0; -4) y R (8; 4)

2.      P (4; 0), Q (-3; 4) y R (-3; -4)

3.      P (-2;-1), Q (3; 2) y R (5; -5)

4.      P (-5; 3), Q (6; 6) y R (-3; -1)

5.      P (-1; 3), Q (6; -2) y R (3; 6)

Fuentes:

Módulo de aprendizaje Matemáticas 3 colegio de Bachilleres del Edo de Sonora

Antología de Geometría Analítica de la Dgeta

Matemáticas 3, Eduardo Basurto Hidalgo Ed. Pearson

Matemáticas 3, Rene Jiménez Colegio  de Bachilleres